هر عدد حقيقي را با يك نقطه و از محور و از هر نقطه از محور را با عدد حقيقي متناظر مي كنند نقطه o (مبدأ) متناظر با عد صفر و نقطه 1 متناظر با عدد (1) مي باشد.

طول نقطه روي يك محور :
عدد حقيقي متناظر با هر نقطه از محور را طول يا مختص مي نامند . اگر نقطه A روي محور باشد. طول نقطه A را با X_A نشان مي دهند.

بردار:

هر پاره خط جهت دار روی محور اعداد حقیقی را بردار می نامند .هر بردار با ابتدا و انتهای آن مشخی می شود و فاصله نقطه انتها از ابتدای بردار را طول بردار می نامند .مانند بردار که ابتدای این بردار A و انتهای این بردار B و طول بردار برابر AB یا است .

اندازه جبري بردار :
دو نقطه A,B را روي محور در نظر مي گيريم. مقدارX _B- X_A را اندازه جبري بردار مي نامند و مقدار|X _B- X_A| طول بردار AB يعني || را با نشان مي دهند.
به عبارت ديگر اگر طول بردار برابر با d باشد، اندازه جبري بردار را به صورت زير را تعريف مي كنند.

اگر بردار با محور هم جهت باشد d =
اگر بردار با محور هم جهت باشد d - =

بردار مكان روي يك محور:
اگر x₁1=1 باشد، آن گاه بردار را واحد يا بردار يكسر مي گويند.

اگر A نقطه دلخواه روي محور باشد به صورت مقابل مي توانيم بنويسييم.

= .

در نتيجه بردار را به صورت زير مي توانيم بنويسيم.

(XB-XA)

= XB - XA =

= -

معرفي|X| :

قدر مطلق هر عدد حقيقي | X | را با نماد نشان مي دهند و بصورت زير تعريف مي كنند.

بنابراين اگر X يك عدد مثبت و يا صفر باشد. برابر خود X است و اگر X يك عدد منفي باشد. برابر با X- است. در نتيجه |X|همواره نامنفي است.

محورهاي مختصات قائم :
دو محور حقيقي را كه در مبدأ شان بر يكديگر عمود باشند دستگاه مختصات قائم مي نامند. يعني محور X'OX بر محور Y'OY عمود است و O مبدأشان مي باشد. محور X'OX را محور طول ها (Xها) و محور Y'OY را محور عرض ها ( Yها ) مي نامند.

مختصات يك نقطه در دستگاه مختصات قائم :
براي مشخص كردن نقطه مانند M در دستگاه مختصات قائم، از نقطه A يك خط موازي محور Xها و يك خط موازي محور Y ها رسم مي كنيم تا محورها را در نقاط K,H قطع كنند. مانند شكل روبرو :
طول نقطه K روي محور طول ها را با طول نقطه اي M و طول نقطه H روي محور عرض ها را عرض نقطه M مي ناميم و طول و عرض هر نقطه را مختصان آن مي گوئيم. معمولاً نقطهM

را به صورت (M(X_AY_B با بطور خلاصه به صورت (M(XY نشان مي دهيم.
 

طول پاره خط (فاصله دو نقطه):

مختصات وسط پاره خط :
اگر نقطه m وسط پاره خط AB باشد مختصات M برابر است با :
 

معادله خط :

روش كلي براي رسم نمودار :

ax+by=c

به x دو مقدار دلخواه نسبت داده و به ازاي هر يك از آنها مقداري براي y بدست مي آيد. هر x,y نظيرش يك نقطه را مشخص مي كند. دو نقطه را مشخص كرده و به هم وصل مي نمائيم.
 

شيب خط :
نسبت تفاضل عرضهاي دو نقطه از خط به تفاضل طول هاي نظير آن دو نقطه شيب خط ناميده مي شود.

تعيين شيب خط با معلوم بودن معادله خط :
معادله كلي خطوط :

معادله خط :
معادله خطي كه مختصات يك نقطه و ضريب زاويه آن M معلوم است.

Y-Y₁ = m (X -X₁)

X ₁, Y₁ مختصات يك نقطه از خط و m ضريب زاويه (شيب) خط است معادله خطي كه مختصات دو نقطه آن در دست است بصورت زير مي باشد:

الف) معادله خط به صورت y = -c/b تبديل مي شود.
نمايش اين معادله خطي موازي xها مي باشد ضريب زاويه اين خط مساوي صفر است.

(c,d) ≠ 0 , a = 0

y = -c/b => m = 0

ب) معادله خط به صورت x = - c /a تبديل مي شود.
نمايش اين معادله خطي موازي محور yها مي باشد ضريب زاويه اين خط تعريف نشده است.

(c,a) ≠ 0 , b = 0

ج) معادله خط به صورت y = -a/b x - c/d و يا y =mx +d تبديل مي شود.

b ≠ 0 , a ≠ 0 , c ≠ 0

اگر( x ₂, y₂ ) , (x ₁, y₁ ) دو نقطه دلخواه از اين خط باشد شيب خط بصورت زير است:

دو خط عمود بر هم :
اگر حاصل ضريب شيب هاي دو خط مساوي (1-) باشد آن دو خط عمود بر هم مي باشند.

( D ) : Y = mx +d

( D' ) : y = m'x +d'

دو خط بالا وقتي برهم عمودند كه داشته باشيم :

m * m' = -1

فاصله نقطه از خط :
فاصله نقطه از خط مساوي طول عمودي است كه از نقطه بر خط فرود مي آيد.
درشكل زير AH فاصله نقطه A از خط (D) مي باشد.

در حالت خاصي كه نقطه Aروي مبدأ مختصات واقع باشد، فرمول بالا به صورت زير تبديل
مي شود:
 

2 – معادله خطي را بنويسيد كه از نقطه (1,2) مي گذرد، و با خط 2x+3y-5=0 موازي است.

3 – معادله خطي را بنويسيد كه از نقطه (2,3) مي گذرد و با محور yها موازي است.

4 – فاصله نقطه( A(-1,-2 را از خط 3x+4y-1=0 حساب كنيد.

5 – با استفاده از تعريف شيب خط بگوييد خط هاي زير دو به دو نسبت به هم چه وضعي دارند؟

1) 2) 3)

6 – ثابت كنيد فاصله مبدأ مختصات از خط x+y=1 برابر 2 / 2√ است.

7 – طول ميانه و ارتفاع وارد بر ضلع Bc را در مثلثي با رئوس (3,4) A (1,2) , B(3,1) , C بيابيد.
 

چند تمرين با حل :
1 – شيب خط هاي 3x -2y = 5 , x=7 , y =-1بدست آوريد:

m₁ = - a/b = 3/2 , m₂ = تعریف نشده , m₃ = 0

y _A= y_B => y = -4 معادله خط

4 – فاصله نقطه را به ترتيب از خطوط 2x+3y+1=0 و x=1, y=-2 بدست آوريد.

الف – اگر دو خط موازي باشند آن گاه دو خط نقطه اشتراك ندارند در نتيجه دستگاه جواب ندارد. (نشدني)
ب – اگر دو خط بر هم منطبق باشند آن گاه دو خط در واقع فقط يك خط است، هر نقطه اين خط جواب دستگاه است در نتيجه دستگاه بي شمار جواب دارد.(مبهم)
ج – اگر دو خط يكديگر را فقط در يك نقطه قطع كنند آنگاه دستگاه فقط يك جواب منحصر به فرد دارد.
 

تست هاي كنكوري : بخش دوم
1 – خط گذرنده بر نقطه( A(2,-1 و عمود بر خط به معادله 2y+x=4 محور yها را با كدام عرض قطع مي كند؟
1) 5-

2)3-

3)3

4)5
 

2 – فاصله دو خط y+3x-1=0 و 2y+x-1=0 چقدر است؟
1)

2)

3)

4)
 

3 – فاصله دو خط موازي y=mx+4 و y=x+2 برابر است با :
1)2√2

2) m +1

3)

4)2√

4 – خطي با ضريب زاويه m از نقطه (1,2) گذشته و محورهاي مختصات را در A,B قطع مي كند. به ازاي كدام مقدار m مساحت مثلث OAB برابر 4 واحد مربع است ؟( o مبدأ مختصات است)
1)3-

2)2

3)2-

4)3-

5 – نقاط ( C(5,4),B(1,6),A(1,2 سه رأس يك لوزي هستند مساحت لوزي چقدر است؟
1)32

2)16

3)8

4)24

6 – اگر( C(3,2),B(3,-1),A(2,1 سه رأس مثلث ABC باشند. مساحت مثلث برابر است با :
1)2/3

2)3

3)2 / 3√

4) 2/9

7 – در مثلث ABC نقطه A روي محور Xها و مختصات نقطه تلاقي سه ميانه

است.

كدام گزينه درست است؟

1) نقاط C,B نسبت به محور Y ها قرينه هستند.
2) نقاط C,B نسبت به مبدأ مختصات قرينه هستند
3) نقاط C,B نسبت به محور Xها قرينه هستند
4) نقاط C,B نسبت به خط X=1 قرينه هستند.
 

8 – معادله خطي كه از مبدأ مختصات و محل برخورد دو خط به معادله هاي 2x+3y+8=0 و 2x-7y+12=0 مي گذرد كدام است؟
1) 2x+23y=0

2) 3x+19y=0
3) 4x+15y=0

4)5x+11y=0

9- مساحت مثلثي كه دو ضلع آن واقع بر خطوطي به معادله هاي 2y-x=4,y+x=2 و ضلع ديگر آن بر محور ox قرار دارد، كدام است؟
1)5

2)6

3)7

4)8

10 – اگر دو خط y=3x+1 و y=3x+m2-3 دو ضلع مقابل يك متوازي الاضلاع باشند.
1)m‌هر چه مي تواند باشد

2) m هر چه مي تواند باشد به جز 2
3) m هر چه مي تواند باشد به جز صفر

3) m هر چه مي تواند باشد به جز 2و 2-